Ο Ανέστης Αργυρίου κατάγεται από τη Χαρίεσσα και ξεκίνησε το ποδόσφαιρο σε ηλικία 12 ετών, όταν το 2000 ο Τάκης Παπατζίκος τον ξεχώρισε και τον έφερε στα τμήματα υποδομής της Βέροιας και συγκεκριμένα στην παιδική ομάδα, ενώ στη συνέχεια μεταπήδησε στη θυγατρική ομάδα του Βερμίου, όπου δούλεψε κυρίως με τον Στέφαν Στόικα, που τότε πρόσφερε τις υπηρεσίες του ως προπονητής στα τμήματα υποδομής αλλά και ως παίκτης στην πρώτη ομάδα.
Την περίοδο 2002-03 όταν η Βέροια αγωνιζόμενη στη Δ΄ Εθνική αναδείχθηκε κυπελλούχος Ελλάδος, ο προπονητής της την εποχή εκείνη Γιώτης Τσαλουχίδης χρησιμοποίησε τον νεαρό τότε Αργυρίου σε δύο αγώνες κυπέλλου, όπου μάλιστα πέτυχε και ένα τέρμα.
Την επόμενη περίοδο 2003-04 πήρε μέρος στην προετοιμασία της Βέροιας στο Σέλι με προπονητή τον Περικλή Αμανατίδη, τελικά όμως «κόπηκε» από την πρώτη ομάδα και αγωνίστηκε με την ομάδα Νέων του συλλόγου. Την επόμενη χρονιά (2004-05) δόθηκε δανεικός στην ΑΕΠ Βέροιας που αγωνιζόταν στη Δ΄ Εθνική και είχε προπονητή τον Στέφανο Γαϊτάνο, ενώ η περίοδος 2005-06 τον βρήκε στην ομάδα Νέων του Ηρακλή.
Στη συνέχεια συμφώνησε ως ελεύθερος με τον Αετό Σκύδρας που αγωνιζόταν στη Δ΄ Εθνική. Στην ομάδα της Πέλλας, με τότε τεχνικό της τον Στέφανο Γαϊτάνο, παρέμεινε μέχρι τα μισά της περιόδου, ενώ η αποδέσμευσή του τον έφερε σε αγωνιστική αδράνεια για περίπου 6 μήνες, διάστημα το οποίο προπονούνταν με την ομάδα της Νάουσας.
Σε ηλικία 19 ετών υπέγραψε συμβόλαιο με τον Πανθρακικό που αγωνιζόταν τότε στη Β΄ Εθνική και προβιβάστηκε στη Σούπερ Λίγκα με την ομάδα της Κομοτηνής, αν και δεν είχε συμμετοχές με την ομάδα. Την επόμενη περίοδο όμως την ομάδα ανέλαβε ο Βέλγος προπονητής Εμίλιο Φερέρα, με τον οποίο έκανε της πρώτες συμμετοχές του στην κατηγορία, ενώ κλήθηκε για πρώτη φορά και στην εθνική Ελπίδων. Την επόμενη χρονιά ο Αργυρίου καθιερώθηκε ως βασικός στον Πανθρακικό, αν και η ομάδα του τερμάτισε τελευταία στη Σούπερ Λίγκα και υποβιβάστηκε, η απόδοση του όμως κίνησε το ενδιαφέρον πολλών ομάδων για την απόκτηση του, μεταξύ αυτών της αγγλικής Μπλάκμπερν Ρόβερς, του Παναθηναϊκού και της ΑΕΚ, με την οποία τελικά υπέγραψε συμβόλαιο συνεργασίας, μαζί με τον συμπαίκτη του στην ομάδα της Κομοτηνής, Σπύρο Ματεντζίδη. Ο Ανέστης Αργυρίου έκανε την πρώτη του εμφάνιση με την ΑΕΚ στις 21 Οκτωβρίου 2010 στον ευρωπαϊκό αγώνα με την Άντερλεχτ για το Europa League.
Το 2012 αποκτήθηκε ως ελεύθερος από τους Ρέιντζερς Γλασκώβης, από τους οποίους αποχώρησε τον Σεπτέμβριο του 2013. Τον Δεκέμβριο του ίδιου χρόνου ανακοινώθηκε η απόκτησή του από την Καλλονή μερικές ημέρες αργότερα όμως έγινε γνωστή η λύση της συνεργασίας τους.
Το καλοκαίρι του 2014 συμφώνησε να συνεχίσει την καριέρα του στο πολωνικό πρωτάθλημα με τη Ζάβισα Μπίντγκοστς, όπου παρέμεινε έως το τέλος του χρόνου Τον Ιανουάριο του 2015 συμφώνησε με τον Εθνικό Άχνας Τον Ιούλιο του 2016 ανακοινώθηκε από τον Αγροτικό Αστέρα.
Στην περισνη σεζόν τον Ιανουάριο μετακομισε στη Νάουσα για την τοπική ομάδα.
